Вступ

Засновником «Нарисної геометрії» є видатний французький геометр кінця VXIII – початку XIX століття Гаспар Монж.
У своєму класичному творі «Geometry descriptive» (Нарисна геометрія), який був опублікований у 1798 р., Г. Монж розробив загальну геометричну теорію, яка надає можливість на плоскому аркуші, який містить ортогональні проекції тривимірного тіла, вирішувати різні стереометричні задачі. Винайдений ним метод, метод ортогонального проеціювання на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій, до цього часу залишається єдиним способом створення креслення.

Предметом «Нарисна геометрія» є викладення та обґрунтування методів побудови зображень просторових фігур на площини проекцій та розв’язання задач геометричного характеру за побудованими зображеннями. Нарисна геометрія є кращим засобом розвитку в людини просторового уявлення, без якого неможлива інженерна діяльність. Нарисна геометрія є теоретичною базою для складання креслення. Креслення – це своєрідна мова, за допомогою якої можна отримати зображення геометричних фігур на площини проекцій, застосовуючи лише точки, прямі та обмежений набір геометричних індексів, букв та цифр. Мова ця інтернаціональна, оскільки зрозуміла будь – якому інженеру, незалежно від того, на якій мові він розмовляє та в якій точці Земної кулі він живе.


Проекції точки



Будь-яку геометричну фігуру розглядають як множину точок, які їй належать. Тому проекції геометричної фігури на площини проекцій отримують шляхом проеціювання належних їй точок на площини проекцій.

Усі побудови, які виконуються у нарисній геометрії, базуються на методі проеціювання. Залежно від апарату проеціювання проекції поділяють на центральні та паралельні (рис. 1.1).

Центральною проекцією точки називають точку перетину променя, проведеного через задану точку простору (А, В), та центр проекцій S з площиною проекцій (П1). (рис. 1.1 а).

Центральне проеціювання найчастіше застосовують у архітектурі, в машинобудуванні застосовується паралельне проеціювання.

а) б)

Рисунок 1.1 – Методи проеціювання: а) центральне; б) паралельне

Залежно від напрямку проеціювання паралельне проеціювання поділяють на косокутне (напрямок проеціювання не перпендикулярний площині проекцій) та прямокутне (напрямок проеціювання перпендикулярний площині проекцій). Прямокутне проеціювання найчастіше називають ортогональним. Ортогональною проекцією точки називають точку перетину променя, проведеного через точку простору перпендикулярно площині проекцій, з площиною проекцій.

Як для центрального, так і для паралельного проеціювання справедливе твердження, що будь-якій точці простору відповідає одна єдина центральна (або паралельна) її проекція. Але при такому апараті проеціювання по центральній (або паралельній) проекції точки однозначно неможливо встановити її положення у просторі. Необхідно мати якусь допоміжну умову. Такою допоміжною умовою є проеціювання на дві площини проекцій.

1.1 Проекції точки на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій

Щоб отримати ортогональні проекції точки на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій, необхідно з точки простору (точка А) послідовно провести перпендикуляри до перетину їх з горизонтальною та фронтальною площинами проекцій (рис. 1.2).На рисунку 1.2 використані такі позначення: П1 – горизонтальна площина проекцій; П2 – фронтальна площина проекцій; О – початок координат; Х, У, Z – осі координат; А – точка у просторі; А1 та А2 – відповідно горизонтальна та фронтальна проекції точки.

Рисунок 1.2 – Проекції точки на дві площини проекцій

Для побудови комплексного креслення або епюра Монжа (рис. 1.3) необхідно площину П2 залишити без змін, а площину П1 розвернути на 900 вниз до суміщення з площиною П2. Послідовно виміряти та відкласти на відповідних осях абсцису, ординату та аплікату точки (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 – Побудова епюра Монжа

1.2 Проекції точки на три взаємно перпендикулярні площини проекцій

Щоб отримати ортогональні проекції точки на три взаємно перпендикулярні площини проекцій, необхідно через точку простору послідовно провести перпендикуляри на горизонтальну, фронтальну та профільну площини проекцій (рис. 1.4). У перетині проведених перпендикулярів з кожною з площин проекцій одержують ортогональні проекції точки А: горизонтальну (А1), фронтальну (А2) та профільну (А3) проекції точок.

Рисунок 1.4 – Проекції точки на три площини проекцій

На рисунку 1.4 використані такі позначення: П1, П2, П3 – відповідно горизонтальна, фронтальна та профільна площини проекцій; О – початок координат; Х, У, Z – осі координат; А – точка у просторі; А1, А2, А3 – проекції точки А відповідно на П1, П2, П3.

Для побудови комплексного креслення (епюр Монжа) необхідно площину П2 залишити без змін, площину П1 розвернути на 900 вниз, а площину П3 розвернути на 900 на право до суміщення з площиною П2 (рис. 1.5). Послідовно виміряти та відкласти на відповідних осях абсцису, ординату та аплікату точки А.

Рисунок 1.5 – Епюр Монжа

1.3 Основні властивості ортогонального проеціювання

1          Положення точки у просторі визначається трьома її координатами (X, Y, Z).

2          Горизонтальна проекція точки визначається її абсцисою (Х) та ординатою (У), фронтальна проекція точки – її абсцисою (Х) та аплікатою (Z), профільна проекція точки – її ординатою (У) та аплікатою (Z).

Наслідки:

1          Віддалення точки від площин проекцій визначається відповідними координатами:

-           координатою Х – від площини П3;

-           координатою У – від площини П2;

-           координатою Z – від площини П1.

2          Однойменні проекції точок знаходяться на одній лінії проеційного зв’язку, перпендикулярній до відповідної осі.

3          Положення точки у просторі визначається двома її проекціями, тому за двома проекціями точки завжди можна побудувати її третю проекцію.

Приклад 1 За двома проекціями точки А визначити її третю проекцію.

а) б) в)

Рисунок 1.6 – Побудова третьої проекції точки

За умовами задачі дані дві проекції точки: фронтальна та профільна (рис. 1.6а). Для побудови горизонтальної проекції точки А необхідно з фронтальної проекції точки провести лінію проеційного зв’язку, перпендикулярну до осі Х (рис. 1.6б), на якій відкласти ординату точки (рис. 1.6в), яка виміряється на профільній площині проекцій (відстань позначено двома штрихами).

Аналогічно можна побудувати фронтальну проекцію точки за її горизонтальною та профільною проекціями або профільну проекцію точки за горизонтальною та фронтальною проекціями.

Метод проекціювання

Отже, проекція - це зображення предмета, "відкинуте" на площину за допомогою променів. Спроекціювати предмет — це означає зобразити його на площині (рис.1).

Залежно від положення проекціюючих променів проекції поділяють на центральні та паралельні.

Рис. 1

Ідею центрального проекціювання видно з рис.2. Точка S, з якої виходять проекціюючі промені, називається центром проекціювання. Площина π1 на яку проекціюється предмет, називається площиною проекцій. Площина π1 і точка S становлять апарат центральної проекції. Щоб спроекціювати трикутник, треба з центра проекцій S через усі його вершини провести проекціюючі промені до перетину з площиною проекцій π1. Одержимо точки А1В1С1, які називаються центральними проекціями вершин А, В, С на площину π1, а трикутник А1В1С1 - центральною проекцією трикутника ABC.

Метод паралельного проекціювання розглянемо за допомогою рис. 3. Як і в попередньому випадку, вибирають площину проекцій π1. Замість центра проекцій S задають напрям проекціювання s, тобто вважають, що центр проекцій S віддалений у нескінченність. Тому проекціюючі промені паралельні між собою. Площина π1 і напрям s становлять апарат паралельної проекції. Щоб спроекціювати трикутник ABC на площину π1, через вершини А, В, С проводять проекціюючі промені паралельно напряму проекціювання s. Внаслідок перетину цих променів з площиною π1 утворюється трикутник А1В1С1, який являє собою паралельну проекцію трикутника ABC.

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проекціюючі промені перпендикулярні до площини проекцій (рис. 4), то таке проекціювання називають прямокутним, а проекції, які при цьому одержують — прямокутними, або ортогональними. Якщо ж кут нахилу променів не дорівнює 90°, то такі паралельні проекції називаються косокутними. У кресленні користуються прямокутними проекціями.

Ортогональне проекціювання має ряд переваг перед центральним та косокутним паралельним проекціюванням:
–          простоту геометричних побудов ортогональних проекцій предметів;
–          зберігання на проекціях, при певних умовах, форми та величини лінійних та кутових розмірів проекціюючих предметів.
2.         Побудова за заданими координатами епюрів прямих, взаємного положення прямих та прямих і точок.
Розглянемо просторову модель координатної площини проекцій. Для визначення положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях найбільш зручною є декартова система координат. Декартова система координат складається з трьох взаємно перпендикулярних площин.
π1 – горизонтальна площина проекцій;
π2 – фронтальна площина проекцій;
π3 – профільна площина проекцій.
Лінії перетину площин проекцій утворюють осі координат: X - вісь абсцис, Y - вісь ординат, Z - вісь аплікат, а точка перетину координатних осей O береться за початок координат.

π1 – горизонтальна площина проекцій; π2 – фронтальна площина проекцій;
Площини проекцій перетинаються по вісі координат Ох. Обертанням навколо вісі Ох площину π1 суміщають з площиною π2. Отримаємо комплексне креслення
Схему побудови зворотного ортогонального креслення розвинув Гаспар Монж – знаменитий французький учений. По схемі Монжа оригінал (наприклад точка) проекціюється ортогонально на дві взаємно перпендикулярні площини проекції π1 - горизонтальну і π2 - фронтальну площини проекцій.
Лінія зв'язку - це пряма, що з’єднує дві проекції точки на комплексному кресленні і перпендикулярна осі проекцій.
У результаті ми отримали двохпроекційне комплексне креслення точки А.
Твердження: Дві прямокутні проекції точки повністю визначають її положення в просторі основних площин проекцій.
Тобто комплексне креслення або епюр Монжа (з фр. «креслення») – це зображення, яке отримуємо в результаті обертання площини проекцій π1 на кут 90° до суміщення π2.
В кресленні ж при побудові зображень часто користуються трьома проекціями на три площини проекцій. Розглянемо, за якими законами це реалізується.

горизонтальна та А2 – фронтальна проекції точки А. Проекціюючі промені АА1 та АА2  перпендикулярні відповідним площинам проекцій. Точки перетину проекціюючої площини з віссю Ох позначена АХ. На комплексному кресленні горизонтальна А1 та  фронтальна А2 проекції точки А з’єднуються вертикальною лінією проекційного зв’язку, яка ^ вісі Ох

Для переходу до комплексного креслення просторову модель розрізають по вісі Оу та суміщають всі три площини проекцій в одну: π1 обертають навколо вісі Ох, π3 обертають навколо вісі Оz до їх спів падання з π2 .Вісь Оу розпадається на дві вісі у1  та   у3

Проекціюючі промені АА1, АА2 та АА3 проводять перпендикулярно відповідним площинам проекцій й отримують проекції точки А: горизонтальну А1, фронтальну А2 та профільну А3. Точки перетину проекціюючих площин з відповідними осями позначені АХ , АY , АZ.
На комплексному кресленні лінії проекційного Проекціюючі промені АА1, АА2 та АА3 проводять перпендикулярно відповідним площинам проекцій й отримують проекції точки А: горизонтальну А1, фронтальну А2 та профільну А3. Точки перетину проекціюючих площин з відповідними осями позначені АХ , АY , АZ.
На комплексному кресленні лінії проекційного зв’язку ^ осям координат. Лінія А1А2 ^ Ох розташована вертикально, а А2А3 ^ Оz – горизонтально. При побудові лінії проекційного зв’язку від А1 до А3 необхідно зберігати рівність координатних відрізків по осі Оу : АХА1 = АZА3
Для переходу до просторову модель розрізають по вісі Оу та суміщають всі три площини проекцій в одну: π1 обертають навколо вісі π3 обертають навколо вісі Оz до їх спів падання з π2 .Вісь Оу розпадається на дві вісі у1  та   у3
Перпендикуляр АА1 називається горизонтально-проекціюючим, АА2 - фронтально-проекціюючим і АА3 - профільно-проекціюючим променем.

На комплексному кресленні чисельні значення координат відкладаються вздовж відповідних координатних осей. Кожна проекція точки визначається двома координатами: горизонтальна – ХА та YА, фронтальна – ХА та ZА, профільна – YА та ZА.

Горизонтально конкуруючі точки А та В лежать на одному горизонтально – проекціюючому промені, тому їх горизонтальні проекції співпадають. Точка В віща за точку А та розташована ближче до спостерігача, тому горизонтальна проекція В1 буде видимою.

Конкуруючі точки

Видима та точка координата у якої більша

Фронтально конкуруючі точки А та В відрізняються координатою у, лежать на одному фронтально – проекціюючому промені, тому їх фронтальні проекції співпадають. Ближче до спостерігача розташована точка В, тому її фронтальна проекція В2 буде видимою.
До сих пір ми розглядали проекції точки, а зараз розглянемо комплексне креслення лінії. Пряма в просторі безмежна. Обмежена частина прямої називається відрізком.
По розташуванню відносно площин проекцій прямі можуть бути загального та частинного положень.
Прямою загального положення є пряма, яка не паралельна жодній з площин проекцій.

Розглянемо схему побудови ортогонального креслення прямої лінії. Проекціювання прямої зводиться до побудови проекцій будь-яких двох її точок, так як дві точки повністю визначають положення прямої в просторі.
Наприклад візьмемо пряму m загального положення (рис. 12), яка задана двома точками А і В. Побудуємо ортогональні проекції відрізку АВ на площинах π1 ,π2, π3. З’єднаємо проекції точок А і В на кожній площині отримаємо проекцію відрізку АВ на всі три проекціюючі площини.
Комплексне креслення відрізку прямої АВ загального положення на всі три площини проекції наведено на рис. 13.

Положення прямої m в просторі визначають дві довільні точки А та В, які лежать на цій прямій. Пряма лінія m є заданою, якщо на комплексному кресленні побудувати проекції двох її точок А та В. Проекції прямої m проходять через пари відповідних проекцій точок: горизонтальна проекція прямої m1 – через А1 та В1 ; фронтальна проекція прямої m2 – через А2 та В2

Якщо відрізок АВ загального положення (рис. 14) продовжити в обидва боки від точок А і В, то в точках М і N він перетне площини проекцій π1 і π2.
Рис. 14

Пряма, яка паралельна якій-небудь площині проекцій, не може мати сліду на тій площині, якій вона паралельна, так як вона з нею не перетинається.
Пряма частинного положення (або пряма рівня) – називається пряма, паралельна хоч би одній з площин проекцій.
Проекціюючими називаються прямі, перпендикулярні до однієї з площин проекцій, тобто паралельні двом іншим площинам.

Рис. 16

Слід прямої – це точка перетину прямої з відповідною площиною проекцій. Точка М — горизонтальний слід прямої АВ, вона має аплікату  zМ = 0, а точка N - фронтальний слід прямої АВ, вона має аплікату yN = 0.
Для побудови горизонтального сліду прямої АВ знайдемо на ній точку М з координатою z = 0, перетин фронтальної проекції прямої А2В2 з віссю х визначає фронтальну проекцію сліду М2. Горизонтальна проекція сліду М1 належить горизонтальній проекції прямої.
Для побудови фронтального сліду прямої АВ знайдемо на ній точку N з координатою у = 0, перетин горизонтальної проекції прямої А1В1 з віссю х визначає горизонтальну проекцію сліду N1. Фронтальна проекція сліду N2 належить фронтальній проекції прямої.